इस blog में आपको Sequences and Series के बारे में पूरी जानकारी मिलेगी जो कि CBSE Class 11 की NCERT के chapter 9 पर based हैं | साथ में आपको उन Video lectures के links भी मिल जाएंगे जिनमें मैंने इसके सारे concepts और एक-एक NCERT exercise question को काफी deeply और details के साथ explain किया है |
Meaning of Sequence and Series
सबसे पहले शुरुआत करते हैं Sequence के नाम के साथ | Sequence का हिंदी में meaning होता है “क्रम” यानि कि numbers या objects का ऐसा group जो किसी particular order में आ रहा हो | ये particular order सभी numbers या objects के साथ एक जैसा ही होता है | Sequence शब्द का इस्तेमाल हम maths में numbers के particular orders के लिए करते हैं और उन numbers को sequence की terms कहा जाता है | Practical life में इसका इस्तेमाल किसी भी object के साथ किया जा सकता है | Example के लिए:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर term के बीच में 1 का difference है |
5, 10, 20, 40, 80, 160, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर अगली term, पिछली term का twice या दूगना है |
इसी तरह से अनगिनत तरीकों से sequence बनाई जा सकती है | sequence में हर term को हम उसकी position के हिसाब से “variableposition” की form में represent करते हैं | जैसे कि पिछले पहले example को ही लेते है;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
इसमें अगर variable मैं “a” लेता हूँ तो सभी terms को इस तरह से लिखा जायेगा:
a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, a5=5, a6=6, a7=7, ….
अब बात करते हैं series की | जब हम किसी sequence की सभी terms के बीच में addition का sign लगाते हैं तो उस sequence को series कहा जाता है | अब पिछली दो sequence को ही लेते हैं | अगर उन्हें इस तरह से लिखें:
1+2+3+4+5+6+7+…
5+10+20+40+80+160+..
तो ये series बन जाती हैं | Sequence और series में सिर्फ़ इतना सा ही फ़र्क नहीं हैं | series को हम summations की form में आसानी से लिख सकते हैं |
General Term
अब बात करते हैं कि sequence और series की terms के साथ काम कैसे किया जाता है ? जैसे कि ऊपर बताया, हर terms के बीच में एक particular order होता हैं जिसकी वजह से हम हर term को एक common पहचान दे सकते हैं | एक ऐसी पहचान जिस से उस sequence या series में आने वाली किसी भी term को find किया जा सके | उस पहचान को ही General term कहा जाता है | फिर से पिछले दो examples लेते हैं, लेकिन इस बार terms की positions के साथ |
पहली sequence:
1, |
2, |
3, |
4, |
5, |
6, |
7,… |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7,… |
अब इस sequence में जो term की position हैं वही term की value भी है, तो इसी common बात को देखते हुए इसकी general term होगी: an = n
दूसरी sequence को हमें थोडा modify करना होगा ताकि उनका common relation पता चल सके:
5, |
10, |
20, |
40, |
80, |
160,… |
5(1), |
5(2), |
5(4), |
5(8), |
5(16), |
5(32),… |
5(2)0, |
5(2)1, |
5(2)2, |
5(2)3, |
5(2)4, |
5(2)5,… |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6,… |
इस sequence की हर term में 5(2) है और हर term में (2) की power term की position से एक कम है, तो इसकी general term होगी: an=5(2)n-1
General term का सबसे बढ़ा फ़ायदा ये है कि हम इससे उस sequence या series में आने वाली कोई भी term find कर सकते हैं | जैसे कि दूसरी sequence की general term को अगर लिया जाए:
an=5(2)n-1
अब अगर इसकी 10th term हमें find करनी है तो बस n कि जगह पर 10 रखना होगा;
a50=5(2)10-1=5(2)9=5(512)=2560
इसका मतलब इस sequence की 10th term 2560 है |
इस blog पर based video lecture देखने के लिए यहाँ click करें: https://www.youtube.com/watch?v=I_wWn6KN1P0
Class 10 Mathematics के Chapter 5 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-10/maths/ncert-solutions/arithmetic-progression/
Class 11 Mathematics के Chapter 9 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-11/maths/ncert-solutions/sequences-and-series
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