आइये Sequences and Series समझें!

इस blog में आपको Sequences and Series के बारे में पूरी जानकारी मिलेगी जो कि CBSE Class 11 की NCERT के chapter 9 पर based हैं | साथ में आपको उन Video lectures के links भी मिल जाएंगे जिनमें मैंने इसके सारे concepts और एक-एक NCERT exercise question को काफी deeply और details के साथ explain किया है |

Meaning of Sequence and Series

सबसे पहले शुरुआत करते हैं Sequence के नाम के साथ | Sequence का हिंदी में meaning होता है “क्रम” यानि कि numbers या objects का ऐसा group जो किसी particular order में आ रहा हो | ये particular order सभी numbers या objects के साथ एक जैसा ही होता है | Sequence शब्द का इस्तेमाल हम maths में numbers के particular orders के लिए करते हैं और उन numbers को sequence की terms कहा जाता है | Practical life में इसका इस्तेमाल किसी भी object के साथ किया जा सकता है | Example के लिए:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर term के बीच में 1 का difference है |

5, 10, 20, 40, 80, 160, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर अगली term, पिछली term का twice या दूगना है |

इसी तरह से अनगिनत तरीकों से sequence बनाई जा सकती है | sequence में हर term को हम उसकी position के हिसाब से “variable_position” की form में represent करते हैं | जैसे कि पिछले पहले example को ही लेते है;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

इसमें अगर variable मैं “a” लेता हूँ तो सभी terms को इस तरह से लिखा जायेगा:

a₁=1, a₂=2, a₃=3, a₄=4, a₅=5, a₆=6, a₇=7, ….

अब बात करते हैं series की | जब हम किसी sequence की सभी terms के बीच में addition का sign लगाते हैं तो उस sequence को series कहा जाता है | अब पिछली दो sequence को ही लेते हैं | अगर उन्हें इस तरह से लिखें:

1+2+3+4+5+6+7+…

5+10+20+40+80+160+..

तो ये series बन जाती हैं | Sequence और series में सिर्फ़ इतना सा ही फ़र्क नहीं हैं | series को हम summations की form में आसानी से लिख सकते हैं |

General Term

अब बात करते हैं कि sequence और series की terms के साथ काम कैसे किया जाता है ? जैसे कि ऊपर बताया, हर terms के बीच में एक particular order होता हैं जिसकी वजह से हम हर term को एक common पहचान दे सकते हैं | एक ऐसी पहचान जिस से उस sequence या series में आने वाली किसी भी term को find किया जा सके | उस पहचान को ही General term कहा जाता है | फिर से पिछले दो examples लेते हैं, लेकिन इस बार terms की positions के साथ |

पहली sequence:

1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a_7,…

अब इस sequence में जो term की position हैं वही term की value भी है, तो इसी common बात को देखते हुए इसकी general term होगी: a_n= n

दूसरी sequence को हमें थोडा modify करना होगा ताकि उनका common relation पता चल सके:

5,	10,	20,	40,	80,	160,…
5(1),	5(2),	5(4),	5(8),	5(16),	5(32),…
5(2)⁰,	5(2)¹,	5(2)²,	5(2)³,	5(2)⁴,	5(2)⁵,…
a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a_6,…

इस sequence की हर term में 5(2) है और हर term में (2) की power term की position से एक कम है, तो इसकी general term होगी: a_n=5(2)^n-1

General term का सबसे बढ़ा फ़ायदा ये है कि हम इससे उस sequence या series में आने वाली कोई भी term find कर सकते हैं | जैसे कि दूसरी sequence की general term को अगर लिया जाए:

a_n=5(2)^n-1

अब अगर इसकी 10^th term हमें find करनी है तो बस n कि जगह पर 10 रखना होगा;

a₅₀=5(2)^10-1=5(2)⁹=5(512)=2560

इसका मतलब इस sequence की 10^th term 2560 है |

इस blog पर based video lecture देखने के लिए यहाँ click करें: https://www.youtube.com/watch?v=I_wWn6KN1P0

Class 10 Mathematics के Chapter 5 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-10/maths/ncert-solutions/arithmetic-progression/

Class 11 Mathematics के Chapter 9 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-11/maths/ncert-solutions/sequences-and-series